【数学】【转】e存在的意义

作者:唐乃迁
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原因很简单,因为$e$和自然数$0,1,2…$一样自然。
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可以说,数学整个学科都是人为创造出来,被用来了解自然和了解人类本身的。
由于人类有可数的十根手指,于是我们用了十进制。不过如果有一个外星人有四根手指呢?他们是不是就使用四进制呢?
如果外星人是有无法数清的触手的触手怪呢?
所以数学的很多分支都是为了了解人类本身被研究的,它不自然。
自然的事物中,其中的一种是世界上正在发生的一切。
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为了研究世界上正在发生的一切,人类在数学之外又创造了物理、化学、生物等等学科,它们被称作“自然科学”。显然在这些课本中,数字到底是十进制还是四进制并无大碍,人类正在脱离了解人类本身这一范畴,开始了解世界。
人类对世界的最深层次的疑惑,在诞生之日就一直是是:
在下一个时刻会发生什么?
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这一疑惑贯穿了人类的全部历史,在此不深入研究。
不过,此时人类发现:
尽管自己能够对一些东西做出改变,但是对另一些东西却无能为力。
如果你推一个东西,这个东西就会动。如果愚公愿意,他可以和他的子子孙孙无数代一起把太行山和王屋山搬走。
但是愚公会死,他的子子孙孙都会死。
时间,事物的变化,或许真的如同某些神谕一样,是上天安排的。
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在人类对这两种变化感到深深地迷茫的时候,人类的数学却在纠结着十进制和四进制的事情,把毕达哥拉斯以后的近两千年的时间让位给了宗教。
然而人类不可能彻底把对自然的理解交给神。数学将以一种最新的形态回到我们对自然的理解中。
跟着新的数学而来的,还有物理,化学,生物等等自然科学。
是的,不管你如何讨厌它,没有它,或许现在的世界依然没有走出教会的中世纪,我们对世界的了解,依然是所谓的神谕。
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了解世界的过程中,我们倾向于研究可测量的量。
然而在神学统治世界的两千年中,变化的特别要素,时间,只能以日晷上的小时来测量。
或许是哪位在封建主的领地里放羊的小孩,在路过潺潺的山泉的时候的发现吧。
那些一滴一滴,时间间隔相同的缓缓滴落的水滴,敲响了万能神的丧钟吧。
人类通过这些水滴,意识到:
身边一直正在发生的 所谓变化,是可以测量的。
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铅球从比萨斜塔的五楼落下,用了六滴水的时间。
而从二楼落下,也要用三滴水的时间。
这是人类对那一种“自己能够掌握”的变化的初步研究。
也正是在这一次研究中,人类知道了:
我们身边的一切事物的特征,除以无时无刻不在流逝的时间,不就是他们的变化吗。
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在自然数、几何之后,数学跑偏两千年之久。
而在这个我们开始把时间称作“滴答滴答地流逝”的文艺复兴的时代,自然数学盛装归来。
和很多人的认识不同,这门新的数学是比代数自然得多的学科。
因为它研究的,就是两千年来被神掌握的“变化的规律”。
这一自然规律,由于时间的测量技术变得可测量。
也正是这门科学,打破了人类对自然认识的最后一道,也是最难被逾越的一道障碍。
相信不用我说,大家都知道,所谓自然数学有一个更响亮的名字,叫做微积分
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人们知道,时间是无时无刻不在流逝的,相应的变化也无时无刻不在发生。
对于变化的研究,先从最容易测量的物体的位置开始。
因为我们已经通过对变化的理解,定义了速度和加速度。
就在水滴旁的男孩将铅球一次又一次从比萨斜塔上扔下去的时候,他惊讶地找到了一个不变量:
地球给铁球的加速度。
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后来,人们发现了所有的位置变化速度的变化,都是人类可以通过自己的力量施加给自然的东西。
此时,人类对自己能够改变的未来,已经有了初步的理解。
不过人类并不甘心,因为为什么还有不可掌握的未来存在?
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一杯热水什么时候冷掉?
大火什么时候熄灭?
植物什么时候长成?
动物什么时候繁衍?
很多问题,人类最多只能改变进程,不能改变结果。
后来,人们发现:
热水自然会冷掉。
大火自然会熄灭。
植物自然会长成。
动物自然会繁衍。
这里的“自然”,
就是自然本身赋予事物的有关变化属性。
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力,称为人类改变外界的媒介的东西,是事物随着外界环境变化的一种属性。
我们可以表示为:
$A$物体速度的变化$=$外界的力
而外界的力和$A$物体速度无关。
然而热水的冷却不一样。
经过测量,我们发现:
热水冷却的速度只和热水与环境的温度差正比例相关。
于是我们得到了:
热水温度的变化$=$确定数量$\times $(热水温度$-$环境温度)
这是自然本身赋予热水的变化属性
与外界无关。
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于是通过上面热水的例子,我们把自然本身赋予事物的有关变化属性抽象一下,总能得到一个等式。
那就是:
$A$的变化$=A$本身的某种性质
当然,最简单的情况当然是:
$A$的变化$=A$的数量$×$确定数量。
为了研究这个简单的问题,人类又把目光放在了自然界。
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这时自然研究者已经分成了两队,一队前往大自然寻求这个问题答案,只因为他们知道:
自然界很多生物的性质,决定了他们的生活、习性,当然包括了变化。
一堆前往实验室寻求这个问题的答案,只因为他们已经在实验室中找到了几个符合这个问题描述的变化。
我们叫第一种人生物学家,第二种人物理学家。
不过,他们的目标是一样的。
那是因为,他们都知道:
热水自然会冷掉。
大火自然会熄灭。
植物自然会长成。
动物自然会繁衍。
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怀着对自然的敬畏,他们上路了。
我们先讲生物学家的故事,因为他们很久以前就发现了一些规律。
一对兔子一年生一窝,一年$10$对兔子存活,$t$年后一共有多少兔子?
这是一个连小学五年级的学生都会得算数,答案是$10$的$t$次方。生物学家在看到
$A$的变化$=A$的数量$\times $确定数量
的时候,一下就想到了这个题目。
可以看到,$t$这个数字,在计算的结果中跑到了$10$的指数的位置上。
一声叹息。生物学家知道,这个老掉牙的题目在几千年前,人类就已经知道答案了。
如果人类在当时就有所思考,也就没有所谓的黑暗的中世纪了吧。
但是生物学家知道这并不是问题的答案。
因为,兔子的数量是每年变化一次的,而自然,则要求时间无时无刻不在流逝
思忖良久,生物学家将“指数”两个字记在本子上,开始寻找更多的证据。
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此时物理学家正在对着自己误差巨大的数据发愁。
尽管已经能精确地测出距离和时间,但对于温度的测量还是一筹莫展。
虽然知道最终的正确数值是一条弧线,但他还要用已知的变化关系去和这一关系对照。
如果能够得到热水冷却的这一条弧线,一切的问题都能迎刃而解吧。
此时,物理学家脑中蹦出一种想法。
推动冷却的会不会是一种力呢?
可不可以用变化率、变化率的变化率等等来表示呢?
即使它不是一种变化率的叠加,那可不可以用这种变化率来近似呢?
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生物学家找到了更多比兔子繁衍更快的物种。
蘑菇、酵母、细菌……
到了最后,甚至找到了几秒就能分裂一次的病毒。
他的笔记中,底数在不断地改变,但是$t$在指数的位置却没有改变。
有一天,在睡梦中,他突然梦见了什么。
他猛然惊醒,打开床头柜,开始计算了起来。
A病毒的性质如果是$1$分秒钟分裂成$2$倍,那它$5$秒钟分裂成多少倍?
$1$秒钟呢?
那么它到底具有怎样的分裂性质呢?
算到最后,他列出了一个算式。
如果它有$1$分钟分裂成$2$倍的性质,
那么当它分裂成$1.10$倍的时候,过$1$分钟应该分裂成$2.20$倍。
分裂成$1.20$倍的时候,过$1$分钟又应该分裂成$2.40$倍。
所以最后的结果,和$2$倍肯定会有很大的偏差。
经过计算之后,生物学家困意已消,他抹去了头上的汗水。
天空泛起了鱼肚白,而这个世界已然没有睡意。
他的草稿本的最后一行是:
自然的底数:\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}\]
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物理学家研制了越来越精确的仪器和设备。
他知道,所谓推动上一层的“力”,也就是变化率是常数罢了,而表现在公式中,则是要多乘上一个时间和时间的系数。
最终的结果,自然是一堆有关时间t的幂的集合。
有一次物理学家突发奇想,于是控制变量之后,物理学家把确定数量值变为了$1$,把环境变为了$0$度。也就是说现在热水温度的变化率变成了它自己。他坚信这样可以更方便地测出真正的规律。
此时物理学家突然意识到了什么。
我们都知道,如果位置变化是$t$的$2$次方,那么它的变化率也就是速度就是2t,变化率的变化率就是$2$。
那么如果位置变化是$t$的$7$次方呢?
那位置的$7$重变化率就是$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7$。
那么由于这一变化由无数的“变化率的变化率”组成,显然这些“力的推动力”的变化率,是“被这些力推动的力”的整数倍。
而又由于热水温度的变化率是它自己,所以每个力都和被它推动的力有确定的倍数关系!
物理学家飞速地列出了最终唯一的关系式,并且当他做完实验的时候,结果竟然和关系式完全符合!
他笑了,因为他的努力终究有了成果。
他的之上留下了一行算式:
自然公式取1的值\[exp(1)=1+1+\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{1\times2\times3}+\frac{1}{1\times2\times3\times4}+\frac{1}{1\times2\times3\times4\times5}+…\]
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物理学家和生物学家相聚了。
“我已经找到将不可掌握的未来,用自然的公式表达出来了。”
“我也是。”
“自然的公式是指数。”
“不,自然的公式是幂的和。”
物理学家的黑板上写着:
\[\sum_{x=0}^{+\infty}\frac{t^{x}}{x!}\]
而生物学家的黑板上则写着:
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{xt}\]
两人相视而笑
是的,自然的公式只有一个,两个公式事实上完全等同。
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给它命个名吧,
“我建议用\[e^{x}\]因为这是一个显然的指数函数。”生物学家说。
“听我说,我建议用\[exp\left ( x \right )\]来表示它的自然和连续性。”物理学家说。
两人离开,留下了两块被拼在一起的黑板。
物理学家那边,写着:
\[exp\left ( 1 \right )=\sum_{x=0}^{+\infty}\frac{1}{x!}\approx 2.71828\]
生物学家那边,写着:
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}\approx 2.71828\]
而拼起来的黑板,则组成了:
$\frac{dy}{dx} = y$的方程。
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尾声
人类终于迈出了认识未知自然的一步。
从此,即便是自然本身的规律,也已经被人类了然于心。
我们不需要再担心一些不可能发生的事,从而把我们的能力使用在正确的地方。
尽管上文的物理学家和生物学家都是杜撰的人物,不过还是希望读者能够通过$e$这个数值的推断过程来体会一下$e$到底是什么,以及它在科学中的作用。