【数学基础】函数极限

1.函数极限的定义

定义1:\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,that0<\left | x - x_{0} \right |<\delta,\left | f(x)-A \right |<\varepsilon

上述x\rightarrow x_{0}时函数f(x)的极限概念中,x是既从x_{0}的左侧也从x_{0}的右侧趋于x_{0}的。

但有时只能或只需要考虑x在左侧趋于x_{0}(记作x\rightarrow x_{0}^{-})的情形,或x仅从x_{0}的右侧趋于x_{0}(记作x\rightarrow x_{0}^{+})的情形。

x\rightarrow x_{0}^{-}的情形中,xx_{0}左侧,在定义中把0<\left | x-x_{0} \right |<\delta改为x_{0}-\delta <x<x_{0},那么A就叫做函数f(x)x\rightarrow x_{0}^{-}的左极限。

类似的,在x\rightarrow x_{0}^{+}的情形中,把0<\left | x-x_{0} \right |<\delta改为x_{0}<x<x_{0}+\delta,那么A就叫做函数f(x)x\rightarrow x_{0}^{-}的右极限。

左右极限统称单侧极限。

显然,x\rightarrow x_{0}时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等。

定义2;\lim_{x\rightarrow \infty }=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists X>0,when\left | x \right |>X,that\left | f(x)-A \right |<\varepsilon

自变量趋于无穷的极限值。

2.函数极限的性质

定理1:函数极限的唯一性

定理2:函数极限局部有界性

定理3:函数极限局部保号性

定理4:函数极限与数列极限的关系